Последнее замечание моего нового знакомого заставило меня призадуматься. Я разговаривал с ним довольно долго, у меня создалось впечатление, что это вполне разумный многоугольник, и вдруг этот вопрос, эти странные сомнения…

Можно ли быть уверенным в том, что на вопрос доктора Пункто в ста случаях из ста следует отвечать утвердительно? Всегда ли сумма углов треугольника равна 180°? Как можно усомниться в этом? Случалось ли кому-нибудь видеть треугольник с иной суммой углов? Как можно представить себе такой треугольник? Впрочем, доказать, что сумма углов треугольника равна 180°, совсем просто. Не лучше ли мне отказаться от участия в сомнительной затее моего нового знакомого? Потом отделаться от него будет гораздо труднее. А что если я попытаюсь разыграть из себя маньяка, одержимого какой-то другой бессмысленной навязчивой идеей, и заговорю с доктором Пункто о ней?

За этими размышлениями я провел бессонную ночь. Я намеревался придумать какую-нибудь отговорку, сослаться на неожиданный срочный вызов, в крайнем случае сказать, что умер кто-то из членов семьи, чтобы любым путем уклониться от встречи с тем, кто завтра с самого раннего утра будет стоять у моей двери. Однако стоило мне лишь увидеть вчерашнего гостя, как я вновь ощутил к нему такое доверие, что, не колеблясь, принял приглашение отправиться вместе с ним, о чем до сих пор не жалею.

Место, куда привел меня доктор Пункто, находилось за городской чертой. Наблюдательные пункты, расположенные на большом расстоянии друг от друга, образовали там триангуляционную сеть. Мы находились на наблюдательном пункте А. Оттуда при помощи новейшего прибора для измерения углов можно было определить углы между направлениями АВ, AC, AD, АЕ и AF. Мой провожатый попросил меня измерить угол между направлениями на пункты С и D. Я с удовольствием выполнил его просьбу, а заодно измерил и четыре остальных угла.

— Сумма всех пяти измеренных мной углов, естественно, должна быть равна 360°, — заметил я.

— Ну что же, проверим сначала сумму, — сказал мой новый друг (почему бы мне, в самом деле, не называть так доктора Пункто?).

 

^{Триангуляционная сеть — пространство, разбитое на треугольники.}

Мы сложили полученные величины углов и получили в результате величину, которая хотя и очень незначительно, но все же отличалась от 360°.

— Разумеется, ровно 360° не удается получить никогда, — заметил мой спутник, — ибо любое измерение, сколь бы тщательно мы его ни производили, неизбежно содержит некую малую ошибку. Она так и называется — ошибка измерения. Поэтому и сумма пяти измеренных углов никогда не бывает в точности равна 360°: она то меньше, то больше. У опытного наблюдателя отклонения меньше, у неопытного больше, но даже тот, кто производит измерения особенно тщательно, неизбежно совершает некоторую ошибку, хотя и очень малую.

— Об этом вы могли бы и не рассказывать, — заметил я. — Что существует ошибка измерения, мне хорошо известно.

— Тогда вам должно быть понятно, — продолжил свои объяснения мой собеседник, — что в том случае, когда одно и то же измерение приходится повторять несколько раз подряд, результаты получаются разными: одни больше, другой меньше.

— Разумеется, — согласился я, — но может случиться и так, что результаты нескольких последовательных измерений одной и той же величины окажутся одинаковыми…

— А затем, — подхватил мой друг, — снова появится меньшее или большее значение. И добавил:

— До сих пор все, о чем мы с вами говорили, было понятно. Вот теперь и начинается самое удивительное. Если мы перейдем в пункт С и измерим угол между направлениями CD и СА, а затем перейдем в пункт D и измерим угол между направлениями DC и DA и, наконец, вычислим сумму всех трех измеренных нами углов треугольника ACD, то…

— У нас должно получиться 180°, — закончил я фразу. — Вычисленная нами сумма окажется не в точности равной 180°, а будет отличаться от 180° либо в большую, либо в меньшую сторону на малую величину.

— Вы правы: так должно быть, — согласился мой друг, — но так не получается. Вычисленная мной сумма всегда оказывалась больше 180°, причем отклонение было слишком велико для того, чтобы его можно было приписать ошибкам измерения.

— Следовательно, — заключил я, — обнаруженное вами отклонение обусловлено не ошибками измерения и должна существовать более глубокая причина, по которой сумма углов треугольника ACD действительно больше 180°.

Я рассуждал здраво и логически безупречно, но все же, произнеся эти слова, невольно сам испугался их. Как это может быть? Что я, собственно, утверждаю? Сумма углов треугольника больше 180°! Но такое невозможно! Что делать, как быть?!

Доктор Пункто заметил мое замешательство. Он улыбнулся и сказал:

— Всё правильно! Именно к такому выводу пришел и я. Вы рассуждаете правильно, но… может ли быть такое? Нельзя же думать, что нам впервые удалось открыть треугольник, у которого сумма углов больше 180°! Такой вывод противоречит здравому смыслу. Такой вывод противоречит основам геометрии! Однако сумма углов оказывается больше 180° не только у треугольника ACD, но и у всех треугольников триангуляционной сети. В чем здесь дело, я не знаю. Может быть, вам удастся понять, чем вызван столь необычный результат? Может быть, вы можете хотя бы подсказать, в каком направлении следует искать решение этой загадки?

— Уж не послужило ли сделанное вами открытие причиной вашей отставки? — спросил я.

— Да, меня уволили именно из-за этого, — подтвердил доктор Пункто. — Отказались верить результатам моих измерений. Потребовали объяснений. Я рассказал все, о чем знал. Меня выслушали. Я видел, что многие смотрят на меня с сочувствием: либо я мошенник, либо душевнобольной. Сумма углов треугольника равна 180° и ничему другому. Но, клянусь святой Окружностью, я и сам знал об этом не хуже их! Мои судьи сочли, что, коль скоро я способен представить такие результаты измерений, мне никак не подобает занимать пост директора Тригонометрической службы.

— Но ведь здесь нет никакой подтасовки данных! — возмутился я.

— Мне особенно приятно слышать это от вас, — с достоинством заметил доктор Пункто. — По правде говоря, ничего другого я и не ожидал. Разумеется, мне не составляло никакого труда подтасовать результаты измерений так, чтобы скрыть обнаруженную невязку, но, совершив подобный подлог, я поступил бы против собственной совести.

— Кроме того, — добавил я, — не исключено, что впоследствии другой наблюдатель обнаружил бы расхождение между 180° и суммой измеренных углов треугольника и тогда ваш обман раскрылся бы.

— Вы правы, — такая возможность существует всегда, — признал доктор Пункто. — Нет, я действительно не мог поступить иначе.

— Есть еще один выход из создавшегося положения.

— Какой? — с интересом спросил доктор Пункто.

— Заявить, что ваши измерения были произведены с малой точностью и, следовательно, полученные результаты носят лишь приближенный характер. Тогда вопрос о невязке отпадает сам собой и все данные не будут противоречить геометрии.

— Такой выход действительно возможен, но лично мне он претит. Я выполнил работу с величайшей тщательностью и представил результаты измерений, произведенных с величайшей точностью. Я не могу поступить иначе и считаю, что только так следует относиться к своим обязанностям.

— Полностью разделяю ваше мнение, — успокоил я доктора Пункто. — Я отношусь к исполнению своих обязанностей точно так же.

Наступило продолжительное молчание. Каждый из нас был погружен в свои мысли. Первым нарушил тишину я:

— Давайте подумаем над тем, что следует сделать в первую очередь. Я предлагаю как можно точнее исследовать обнаруженное явление.

Доктор Пункто с энтузиазмом воскликнул:

— Мой лучший друг! Не часто случается в жизни неожиданно обрести в зрелые годы настоящего друга. Друзьями в большинстве случаев становятся в юности, но я чувствую, что именно теперь у меня появился настоящий друг. Позвольте мне называть вас своим другом. Мой лучший друг! Не могу выразить, как я благодарен вам за ваше предложение, за вашу готовность помочь мне, за ваше согласие посвятить свое время и свой разум решению проблемы, затронувшей лично меня.

— Эта проблема затрагивает не только вас, — возразил я. — Речь идет о научной проблеме из области геометрии, которая меня чрезвычайно заинтересовала. Я охотно присоединяюсь к вам. Как два друга, мы совместными усилиями постараемся решить проблему, с которой вы столкнулись, или по крайней мере по возможности ясно и кратко изложим основные этапы своих поисков, чтобы впоследствии кто-нибудь мог воспользоваться нашими результатами.

— Позиция, достойная подлинного ученого! — одобрил мою речь доктор Пункто. — Вперед, за работу!

— Прежде всего, — попросил я, — объясните, почему обнаруженную вами невязку не замечали раньше. Относите ли вы это за счет погрешностей в прежних методах измерений или усматриваете причину в чем-то ином?

— Ответить на ваш вопрос очень просто. Существующие ныне методы измерений и новейшие приборы позволяют достичь большей точности, но нельзя отрицать и другое: отклонения суммы измеренных углов треугольника от 180° столь велики, что их вполне можно было обнаружить и раньше.

— А как, по-вашему, почему столь интересное явление все же оставалось незамеченным? Может быть, в этом проявилась боязнь признать странные, непонятные результаты измерений?

— Вполне возможно, — согласился доктор Пункто. — Признав правильность измерений, мы тем самым бросаем вызов тем, кто производил измерения до нас, а нам бы не хотелось делать этого без крайней необходимости.

— Займемся в таком случае поиском другой причины, — продолжал я. — Приводили ли прежние наблюдатели лишь округленные результаты измерений или выписывали столько десятичных знаков, сколько им удавалось получить?

— Я специально интересовался этим. У меня сложилось впечатление, что каждый наблюдатель приводил полученные им результаты с максимальной точностью, которой ему удавалось достичь. Тем не менее мне не довелось встретить ни одного упоминания о том, что величина суммы углов треугольника может быть значительно больше 180°. Малые же отклонения, естественно, можно приписать ошибкам измерения.

— Необходимо выяснить, в чем состоят различия между старыми и новыми методами измерений. Короче говоря, что не так или делается не так, как раньше?

— Между старыми и новыми методами измерений существует одно большое различие. Раньше измерения производили на маленьких, а теперь на больших треугольниках.

— Тогда нам прежде всего необходимо выяснить, как влияет на результаты измерений величина выбранных для триангуляции треугольников. Каким образом мы могли бы это сделать? Вы сейчас находитесь в отставке, следовательно, не можете производить изменения — у вас нет для этого ни приборов, пи помощников. А коль скоро это так, то не существует ли какого-нибудь иного способа раздобыть все необходимое?

— Надеюсь, — вздохнул доктор Пункто, — что мои бывшие сотрудники, когда я расскажу им, в чем дело, охотно согласятся произвести нужные измерения.

— Прекрасно, — сказал я. — Буду ждать вас у себя дома вместе с результатами измерений. Там мы сможем подробно обсудить наши дальнейшие планы.

Мы расстались как лучшие друзья. Я был убежден, что господин Пункто исполнит все пунктуальнейшим образом и в кратчайший срок, и не ошибся.