Был канун Нового года. Я сидел в кругу семьи и рассказывал внукам сказку о Белоснежке и семи гномах. Взрослые также прислушивались к нам. Я говорил о том, каким прекрасным тоненьким Отрезком прямой была Белоснежка. Мачеха ее в юности также отличалась изяществом и красотой и, став старше, сумела сохранить стройность фигуры. Однако Белоснежка в красоте превзошла свою мачеху и по толщине, и по длине.

^{Белоснежка и семь гномов.}

Тут меня перебила внучка. Ей требовалось узнать, каким образом мачеха могла с легкостью превращаться в ведьму. Я ответил, что эта женщина умела искусно изгибать свое тело и при этом превращалась в безобразное страшилище. Внучку мое объяснение вполне удовлетворило.

Затем моему самому младшему внуку захотелось узнать, сколько сторон было у принца. Это был трудный вопрос. В старых сказках у принцев и королей чаще всего не более шести-восьми сторон. Но если у самих детей число сторон достигает восьми, то принц для них никак не может быть шестиугольником. В то же время, если сказать, что у принца сорок восемь сторон, то в глазах детей он окажется довольно смешной фигурой, поскольку будет сильно походить на жреца. И я решил в данном случае наделить принца двенадцатью сторонами.

Когда сказка кончилась, долгое время все молчали. Потом мой старший внук попросил меня рассказать еще что-нибудь.

— Какую сказку ты хотел бы услышать? — спросил я.

— Зачем сказку? — удивился внук. — Расскажи нам лучше что-нибудь о нашем мире, о путешествии Аэросальты и о тех чудесах, которые она увидела.

Эта просьба была мне особенно приятна. Мой внук впервые проявил интерес к научным проблемам. Поэтому я охотно рассказал об отважных путешествиях наших первооткрывателей и чудесах, открытых ими на небе. В заключение я заметил:

— Мы не можем с уверенностью ответить на вопрос, есть ли жизнь на других небесных телах. Наши телескопы недостаточно сильны для этого, тем более что небесные тела окружены плотной атмосферой. Весьма сомнительно, что там есть мыслящие существа, похожие на нас, то есть Треугольники и Правильные Многоугольники.

Тут в разговор неожиданно вмешалась жена одного из моих сыновей:

— Может быть, на других небесных телах женщины имеют форму окружности, а мужчины по виду напоминают линии, изогнутые в виде цифры «три».

Поднялась буря протестов. Само предположение о том, что где-то во Вселенной женщины могут иметь форму, которая у нас почитается благороднейшей и является достоянием одних лишь мужчин, в то время как мужчины по внешнему виду неотличимы от наших преступниц, изогнутых в форме тройки, мои сыновья сочли неслыханной дерзостью.

Но моя сноха была права. Я объяснил своим сыновьям, что на других небесных телах формирование внешнего вида их обитателей может подчиняться совсем иным законам природы, чем у нас, и не исключено, что там самыми благородными существами считаются Неправильные фигуры!

Это замечание также вызвало кучу возражений. Мои юные слушатели могли еще представить себе, что на других небесных телах обитают страшные ящеры, карлики или великаны, мирились с существованием миров, населенных одними лишь Окружностями, но не допускали и мысли, что где-то Неправильные фигуры считаются вполне приличными существами.

Пробило десять часов — время, достаточно позднее для детей. Поздравив всех с наступающим Новым годом, младшее поколение отправилось спать. Остальные члены семьи также разошлись по своим комнатам, и я остался вдвоем со своим старшим сыном.

Долгое время мы сидели молча, задумчиво глядя в огонь. Неожиданно мой сын спросил:

— Отец, существует ли в действительности третье измерение, о котором наш предок написал свою книгу?

— Что ты имеешь в виду? — попытался уточнить я.

— Я хочу сказать следующее: существует ли в действительности трехмерное пространство со столь удивительными существами, как Сфера и Куб, или все это не более чем научная фантастика?

В книге моего прадеда я прочитал, что его посетила Сфера, существо из трехмерного пространства. Не сохранилось ли каких-нибудь доказательств этого визита?

Я ничуть не сомневаюсь в том, что мой прадед написал книгу о действительно состоявшемся визите Сферы, но нельзя же целиком полагаться лишь на его собственный рассказ об этом событии. А что если вся его книга — сплошной вымысел. Разумеется, ничто не мешает нам мысленно представить себе третье направление, перпендикулярное двум известным нам направлениям, по существует ли это третье направление только в нашем воображении, представляя интерес и имея значение лишь для философов, или оно обладает некоторой реальностью?

Что я мог ответить своему сыну? Сам я всегда считал рассказ моего деда абсолютно правдивым и никогда не сомневался в его истинности, но не мог не согласиться с тем, что объяснения в нем не мешало бы подкрепить более вескими доводами. У меня в голове не укладывалось, как во имя каких-то вымышленных представлении, лишенных какой бы то ни было реальности, можно до конца жизни оставаться в тюрьме и встретить там смерть.

— Послушай, — продолжал мой сын, — мы можем представить себе Лайнландию, где все обитатели — это длинные или короткие отрезки, расположенные на одной и той же прямой, которая и служит их Вселенной. Эти отрезки могут двигаться вперед и назад, но только вдоль прямой. Такой лайнландец может представить себе одно измерение, но если заговорить с ним о втором направлении, перпендикулярном тому миру, в котором он живет, то лайнландец просто не поймет, о чем идет речь. Будь наш лайнландец гениальным ученым, он мог бы, пожалуй, путем умозрительных построений продвинуться настолько, чтобы проследить за следующим рассуждением. Если точка проходит конечное расстояние вдоль некоторой прямой, то она описывает отрезок, концами которого служат две точки. Если теперь мы станем перемещать отрезок конечной длины в перпендикулярном ему направлении на расстояние, равное его длине, то получится квадрат, имеющий четыре вершины и ограниченный четырьмя сторонами.

— Не думаю, — прервал я своего сына, — чтобы твой лайнландец мог понять эту часть твоих рассуждений. Ведь ему не известно, что такое «перпендикулярное направление», а это понятие играет важную роль в них.

— Согласен, но должен заметить, что мой лайнландец — не более чем плод воображения. В Лайнландии подобного гениального ученого нет, да и не может быть. Нельзя ожидать, что столь примитивные существа, как лайнландцы, в достаточной мере владеют геометрическими понятиями. Но мы, двумерные существа, знаем, что означает «перпендикулярное направление», и, следовательно, наиболее разумные из нас в состоянии проследить за рассуждениями и дальше. Сделаем теперь еще один шаг и мысленно представим себе, что квадрат может перемещаться в некотором третьем направлении, воспринимать которое нам не дано. Разумом мы можем вообразить такое движение, но представить себе его наглядно не в наших силах. Итак, предположим, что квадрат, двигаясь в направлении, перпендикулярном нашему пространству, проходит расстояние, равное, любой из его сторон. Тогда мы получим некое трехмерное тело — гиперквадрат, или куб. По своему строению это тело весьма правильно. У него восемь вершин и двенадцать граничных линий.

— Почему у гиперквадрата двенадцать граничных линии? — спросил я. Вопрос был задан с умыслом: мне хотелось проверить, повторяет ли мой сын сведения, почерпнутые им в книге своего прадеда, или ему удалось до конца разобраться в прочитанном и он сумеет привести аргументы, подтверждающие правильность высказанных им утверждений.

— В этом нетрудно убедиться, — последовал ответ. — У квадрата в исходном положении имеются четыре граничные линии (его стороны) и столько же граничных линий в конечном положении. Таким образом, восемь граничных линий мы уже насчитали. Кроме того, у квадрата имеются четыре вершины, каждая из которых при перемещении квадрата вдоль третьего направления опишет по одной граничной линии. Следовательно, общее число граничных линий у трехмерного тела, называемого гиперквадратом, или кубом, равно двенадцати.

— Да, у куба двенадцать ребер, как принято называть граничные линии в Трехмерии, — вставил я.

— Но самое замечательное, — продолжал мой сын, — заключается в том, что куб ограничен плоскими фигурами, квадратами. Всего таких квадратов шесть, причем каждая точка, лежащая внутри любого из шести квадратов, принадлежит наружной поверхности куба. Нам, флатландцам, трудно представить себе, что точка, лежащая внутри квадрата, в то же время может принадлежать наружной поверхности трехмерного тела, но тем не менее это действительно так. Таким образом, у куба имеется шесть вершин, двенадцать ребер и шесть граней, все точки которых, в том числе и внутренние, принадлежат его наружной поверхности.

— Ну что же, с твоими рассуждениями нельзя не согласиться, — снова прервал я сына. — Однако теперь ничто не мешает нам продвинуться еще на одни шаг вперед и мысленно представить себе то, что получится, если мы вздумаем сдвинуть куб вдоль четвертого направления, перпендикулярного трем первым.

— Получится четырехмерное тело, — сказал мой сын, — которое можно было бы назвать гиперкубом. Разумеется, мы не можем представить его себе наглядно.

— Более того, даже трехмерные существа не могли бы представить себе гиперкуб наглядно. Им не оставалось бы ничего другого, как прибегнуть к умозаключениям и выводить свойства куба путем абстрактных рассуждений — так же, как мы рассуждаем о кубе, будучи не в силах представить себе его наглядно. Позволительно спросить, какими элементами ограничен такой гиперкуб?

— Прежде всего ясно, что у гиперкуба шестнадцать вершин, поскольку у куба имеется восемь вершин в исходном и столько же вершин в конечном положении. Восемь и восемь как раз дает шестнадцать вершин.

— А сколько у гиперкуба ребер?

— Тридцать два.

— Почему?

— У куба в исходном положении двенадцать ребер, и столько же ребер у куба в конечном положении. Таким образом, двадцать четыре ребра мы уже насчитали. Кроме того, каждая из восьми вершин куба, двигаясь, опишет отрезок прямой, который также служит ребром гиперкуба. Следовательно, всего у гиперкуба имеется тридцать два ребра.

— А сколько у гиперкуба плоских граней?

— Двадцать четыре: шесть граней у куба в исходном положении, еще шесть — у куба в конечном положении, и каждое из двенадцати ребер при движении также заметает по одной грани. Вот всего и набирается двадцать четыре грани.

— Ты перечислил все элементы гиперкуба?

— Нет, самое главное впереди. Гиперкуб ограничен восемью кубами. Каждая из граней исходного куба при движении породила по одному новому кубу. Вместе с кубом в исходном и кубом в конечном положении мы получаем всего восемь кубических граней. Таким образом, гиперкуб ограничен восемью кубами, все точки которых, в том числе и внутренние, лежат на наружной поверхности гипертела. Разумеется, представить себе наглядно, как это происходит, мы не в состоянии.

— Трехмерные существа также не в силах представить себе такую картину.

— Мы вполне могли бы продолжить наши рассуждения, — заметил мой сын, — и заставить гиперкуб перемещаться вдоль пятого направления, но какое тело при этом получится, представить себе даже мысленно довольно трудно.

— Почему? — возразил я. — Мы получим пятимерное тело, обладающее весьма правильным строением, с тридцатью двумя вершинами, восемьюдесятью ребрами, восемьюдесятью плоскими, сорока кубическими и десятью гиперкубическими гранями. Правда, я не могу не согласиться с тем, что чем дальше, тем сложнее будут получаться гипертела.

Мы оба замолчали и погрузились в размышления. Я был горд своим сыном, который так хорошо разбирался в многомерной геометрии — отрасли науки, которой занимались многие члены нашего семейства. Занятие многомерной геометрией стало своего рода семенной традицией в честь нашего великого предка, замечательного Квадрата.

Мой сын первым нарушил молчание:

— В настоящее время мы не можем ответить на вопрос, является ли все это чистой гипотезой, игрой разума, или третье измерение действительно существует. Посетила ли моего прадеда Сфера или весь рассказ о ее визите от начала до конца был плодом его фантазии?

Тогда мы еще не знали, что ответ на этот вопрос будет дан очень скоро.