Мы с женой спим совершенно по-разному, и это видно по нашему матрасу. Она подминает под себя подушки, всю ночь ворочается, и матрас под ней практически не вдавлен. А я сплю на спине, в позе мумии, отчего на моей стороне кровати образуется впадина.

Производители кроватей рекомендуют периодически переворачивать матрас, вероятно, имея в виду таких людей, как я. Но как это лучше сделать? Как именно его надо переворачивать, чтобы он изнашивался максимально равномерно?

Брайан Хэйес изучает эту проблему на небольшом опыте, который описывает в книге Group Theory in the Bedroom («Теория групп в спальне»). Отбросим двусмысленности, поскольку «группа», о которой пойдет речь, представляет собой совокупность математических действий, то есть всех возможных способов переворачивания или разворачивания матраса, чтобы он при этом точно совпадал с каркасом кровати.

Надеюсь, подробное рассмотрение математики матраса позволит вам получить более общее представление о теории групп, одном из самых многогранных разделов математики. Эта теория лежит в основе всего — от хореографии народного танца и фундаментальных законов физики элементарных частиц до мозаики Альгамбры с ее хаотичными элементами, показанными на этой картинке.

Как видно из этих примеров, теория групп — это связующее звено между искусством и наукой. Она обращается к тому, что является общим для этих двух областей — неизменному очарованию симметрии. Охватывая столь широкий круг явлений, теория групп неизбежно будет абстрактной. Она вскрывает саму сущность симметрии.

Обычно считается, что симметрия — свойство формы. Однако специалистов в области теории групп больше интересует, что можно сделать с формой, в частности все способы ее изменения, оставив при этом без изменений что-то другое. Точнее, они занимаются поиском всех преобразований, в результате которых форма остается неизменной при соблюдении ряда ограничений. Эти преобразования называются симметриями формы. Вместе взятые, они составляют группу, то есть совокупность изменений, чьи отношения определяют основную архитектуру формы.

В случае с матрасом преобразования приводят к изменению его положения в пространстве (в этом состоит изменение), однако при этом сохраняется его упругость (в этом состоит ограничение). В результате матрас должен идеально ложиться на каркас кровати (то, что остается неизменным). Взяв за основу перечисленные правила, рассмотрим, какие преобразования свойственны элементам этой замечательной маленькой группы. Оказывается, их всего четыре.

Первое состоит в том, чтобы ничего не делать, — отличный выбор для лентяев, предпочитающих не трогать матрас. Несомненно, такое преобразование удовлетворяет всем правилам, однако вряд ли продлит жизнь матраса. Тем не менее чрезвычайно важно включить его в группу. Оно играет в теории групп такую же роль, как 0 в сложении чисел и 1 в умножении. Математики называют его нейтральным (или единичным) элементом, я обозначу его символом I.

При следующих трех способах действительно придется переворачивать матрас. Чтобы различать их, приклеим на углы матраса этикетки с номерами.

Картинка, на которой изображен первый способ переворачивания, находится в начале главы. На ней симпатичный мужчина в полосатой пижаме пытается перевернуть матрас на 180 градусов. Этот горизонтальный переворот обозначим как H.

Вертикальный переворот обозначим как V. При этом маневре матрас сначала находится в вертикальном положении, так что почти достает до потолка, а затем опрокидывается на другую сторону. Помимо грохота, который вы наделаете, чистым результатом вашего действия станет поворот матраса на 180 градусов вокруг поперечной оси, как показано ниже.

Наконец, можно повернуть матрас на пол-оборота, не поднимая его с кровати.

В отличие от переворачиваний H и V, при повороте R верхняя поверхность матраса остается вверху.

Теперь посмотрим на матрас, чтобы понять, в чем разница между его переворотами. Представим себе, что он полупрозрачный, взглянем на него сверху и проверим числа в углах матраса после каждой из возможных трансформаций. При горизонтальном переворачивании получаем зеркальное отражение чисел. Они тоже изменили порядок, поскольку числа 1 и 2 и 3 и 4 поменялись местами.

При вертикальном переворачивании порядок чисел тоже изменился, но по-другому: они, помимо своего зеркального отражения, еще и перевернулись вверх тормашками.

При вращении зеркального отражения не получается, а числа повернулись кверху вниз, и там, где была 1, теперь 4, а вместо 2 появилось 3.

Однако это лишь детали. Самое главное — как эти преобразования соотносятся друг с другом. В схемах их взаимодействия зашифрована симметрия матраса.

Чтобы выявить их с минимальными усилиями, нарисуем следующую диаграмму.

В углах схемы изображены четыре возможных положения матраса. Картинка в левом верхнем углу является точкой отсчета. Стрелка указывает на движения, совершаемые матрасом при переходе из одного положения в другое.

Например, стрелка, ведущая из верхнего левого угла к нижнему правому, описывает вращение R. Она двусторонняя, поскольку, если выполнить действие R дважды, это будет равносильно возврату в исходное положение.

Данное свойство поворота можно описать уравнением RR = I, где RR означает «дважды выполнить действие R», а I является нейтральным элементом, означающим отсутствие действия. При горизонтальном и вертикальном переворачивании тоже происходит отмена этих преобразований: HH = I и VV = I.

На схеме также представлено много другой информации. Например, здесь показано, что рискованное вертикальное переворачивание V эквивалентно действию HR, горизонтальному переворачиванию, сопровождаемому поворотом. Этот путь к аналогичному результату гораздо безопаснее. Данную последовательность действий можно записать в виде уравнения HR = V.

Следует также отметить, что порядок выполнения действий не имеет значения, поскольку HR = RH, и оба пути ведут к V. Это верно для любой другой пары действий. Вы можете подумать, что это подобно коммутативному (переместительному) закону для сложения обычных чисел x и y, согласно которому x + y = y + x. Однако будьте внимательны: группа в примере с матрасом — особый случай. Во многих других группах коммутативный закон нарушается. Подчиняющиеся ему группы-счастливчики будут особенно понятными и простыми.

А теперь итоги. Эта схема показывает, как добиться наиболее равномерного изнашивания матраса. Любая стратегия, примененная для всех четырех состояний, будет периодически работать. Например, чередование действий R и H удобно, а поскольку у нас есть возможность миновать шаг V, то нам не требуется много физических усилий. Чтобы напомнить о необходимости выполнять эти действия, некоторые производители дают такой совет: «весной — поворот, осенью — переворот».

Группа чисел, свойственная матрасу, иногда всплывает в самых неожиданных местах, начиная от симметрии молекул воды и заканчивая принципами действия пары электрических переключателей. В этом и состоит прелесть теории групп. Благодаря ей становится очевидным единство вещей, которые в других случаях кажутся не связанными между собой — как в анекдоте о том, как физик Ричард Фейнман получил отсрочку от призыва в армию.

Армейский психиатр попросил Фейнмана вытянуть вперед руки. Тот выполнил просьбу, выставив одну руку ладонью вверх, а вторую ладонью вниз. «Нет, по-другому», — сказал психиатр. Тогда Фейнман перевернул обе руки так, что одна ладонь опять оказалась вверху, а вторая внизу.

Фейнман не играл в игры разума, а просто решил немного пошутить в духе теории групп. Если рассмотреть все возможные способы вытягивания рук, а также различные переходы между ними, то стрелка образует такую же модель, как и в группе чисел матраса!

Однако все это слишком усложняет наши отношения с матрасами. Возможно, настоящий урок здесь тот, который вам и так известен: если вас что-нибудь беспокоит, ложитесь спать, и все пройдет.