Формула для вычисления корней квадратного уравнения — это Родни Дэнджерфилд алгебры. И, будучи одной из формул всех времен и народов, она не заслужила никакого уважения. Даже профессионалы не особо ее жалуют. Когда математиков и физиков просят составить десятку самых красивых или важных уравнений всех времен, квадратное уравнение никогда не проходит отбор. Да, конечно, все восторгаются 1 + 1 = 2, E = mc² и элегантной маленькой теоремой Пифагора, которая важничает просто потому, что она вот такая: a² + b² = c². Но квадратное уравнение? Конечно же нет.

По общему признанию, формула для вычисления корней квадратного уравнения некрасива. Некоторые студенты начинают робко выяснять у нее результат, произнося как ритуальное заклинание: «х равен минус b плюс-минус квадратный корень из b квадрат минус четыре ac, деленное на два a». Другие сделаны из более прочного материала и смотрят формуле прямо в лицо, бесстрашно сопротивляясь пугающей смеси из букв и символов:

И только когда вы осознаете, на что способна эта формула, вы начинаете ценить ее внутреннюю красоту. Надеюсь, эта глава поможет вам совладать с кажущимся сумбуром символов, а также позволит понять, что означает уравнение и откуда оно берется.

Во многих ситуациях мы хотели бы выяснить значение некоего неизвестного числа. Какую дозу лучевой терапии следует применить, чтобы уменьшить опухоль щитовидной железы? Сколько денег вам придется платить ежемесячно, чтобы покрыть тридцатилетний ипотечный кредит в размере 200 тысяч долларов при фиксированной годовой процентной ставке, равной 5 %? С какой скоростью должны лететь ракеты, чтобы преодолеть притяжение Земли?

В алгебре мы уже получили первый опыт решения простейших задач такого типа. Эти решения были разработаны исламскими математиками около 800 года нашей эры и основывались на более ранних исследованиях египетских, вавилонских, греческих и индийских ученых. Импульсом для их разработки послужили сложности при расчете размера наследства по канонам исламского права.

Например, предположим, что умирает вдовец и оставляет все свое имущество (10 дирхемов) дочери и двум сыновьям. Согласно законам ислама, сыновья должны получить равные доли, причем каждому сыну положена сумма вдвое большая, чем дочери. Сколько дирхемов причитается каждому из наследников?

Давайте используем букву х для обозначения суммы наследства дочери. Пока нам неизвестно значение х, мы можем рассуждать о нем как об обычном числе. В частности, мы знаем, что каждый сын получит в два раза больше, чем дочь, то есть по 2x. Таким образом, общее наследство равно x + 2x + 2x, всего 5x, и эта сумма должна равняться общей стоимости наследственного имущества в 10 дирхемов. Следовательно, 5x = 10 дирхемов. Наконец, разделив обе части уравнения на 5, мы видим, что х = 2 дирхема (это доля дочери). Поскольку каждый из сыновей наследует 2x, то им причитается по 4 дирхема.

Обратите внимание, что в этой задаче появилось два типа чисел: известные — 2, 5 и 10 и неизвестные, такие как х. Как только мы смогли вывести соотношение между ними (воплощенное в уравнении 5x = 10), сразу же получили возможность выделить неизвестное х, упростив уравнение путем деления его обеих частей на 5. Это немного напоминает, как скульптор обрабатывает кусок мрамора, пытаясь освободить статую из камня.

Потребовалась бы несколько иная тактика, если бы мы столкнулись с необходимостью вычесть известное число из неизвестного, как в уравнении х — 2 = 5. Чтобы выделить x в этом случае, мы избавляемся от 2, добавив ее в обе части уравнения. Следовательно, слева будет х, а справа 5 + 2 = 7. Таким образом, x = 7, что вы, конечно, уже поняли.

Хотя этот метод сейчас знаком всем студентам, изучающим алгебру, они не осознают, что от него произошло само понятие алгебры. В начале IX века работавший в Багдаде математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал фундаментальный учебник, в котором говорилось, что к обеим частям уравнения следует прибавлять величину, равную вычитаемой величине (число 2 в приведенном выше примере). Он назвал этот процесс al-jabr (по-арабски «восстановление»), что позже трансформировалось в «алгебру». Затем, спустя много лет после своей смерти, он опять выиграл этимологический джекпот, поскольку его собственное имя, аль-Хорезми, живет и доныне в слове «алгоритм».

В своем учебнике, прежде чем начать пробираться сквозь хитросплетения вычислительного наследия прошлого, аль-Хорезми описал более сложный класс уравнений, воплощающий соотношение между тремя видами чисел, а не только теми двумя, которые мы рассматривали выше. Наряду с известными числами и неизвестными (х) в эти уравнения также включены квадраты неизвестных (x²). Они теперь называются квадратными уравнениями, от латинского quadratus, то есть «квадрат». Древние ученые в Вавилоне, Египте, Греции, Китае и Индии уже бились над головоломками, часто возникающими в архитектурных или геометрических задачах, связанных с определением площадей или пропорций, и показали, как решать некоторые из них.

Например, аль-Хорезми рассмотрел квадратное уравнение

x² + 10x = 39.

Однако в его время такие задачи формулировались устно, а не в виде уравнений. Он задал вопрос: «Какая площадь при увеличении на десять собственных корней дает 39?» (Здесь термин «корень» относится к неизвестным х).

Эта задача гораздо сложнее, чем те две, которые мы рассматривали выше. Как мы можем выделить х сейчас? Приемы, используемые ранее, неэффективны, так как члены уравнения x² и 10x здесь наступают друг другу на пятки. Даже если удастся освободиться от x в одном из них, другой член остается связанным. Например, если мы разделим обе части уравнения на 10, 10x сократится до x (к чему мы и стремились), но x² превратится в x²/10, что нисколько не приближает нас к желаемому результату. Основным препятствием является то, что мы хотим одновременно сделать две, по-видимому, несовместимые вещи.

На предложенном аль-Хорезми решении квадратного уравнения стоит остановиться подробнее. Во-первых, потому что оно блестяще, а во-вторых, потому что оно настолько мощное, что позволяет решать все квадратные уравнения одним махом. Это означает, что, если известные числа 10 и 39 из нашего уравнения поменять на другие, метод все равно будет работать.

Идея аль-Хорезми состоит в том, чтобы представить каждое из слагаемых в уравнении геометрически. Первый член x² — это площадь квадрата со стороной x.

Второй член 10x можно рассматривать как площадь прямоугольника 10 на х, или, более изощренно, как площадь двух равных прямоугольников, каждый размером 5 на х. (Разбиение прямоугольника на два меньших готовит почву для основного маневра, который последует далее, — получения полного квадрата.)

Прикрепите два новых прямоугольника к площади x² для получения г-образной фигуры x² + 10x:

В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким должен быть х?

Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтем это наблюдение и заполним квадрат.

Помещение в пустой угол квадрата 5 × 5 добавляет 25 квадратных единиц к уже существующей площади х² + 10х и в общей сложности дает x² + 10x + 25. Это равносильно выражению общей площади в виде (x + 5)², так как каждая сторона заполненной площади равна х + 5 единиц.

Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравнения x² + 10x = 39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его правой части. Так как 39 + 25 = 64, то наше уравнение превращается в

(х + 5)² = 64.

Это уравнение наверняка решаемо. Вычисляя квадратные корни из его обеих частей, получаем х + 5 = 8 и, следовательно, х = 3.

Число 3 действительно является корнем уравнения х² + 10x = 39. Если возвести 3 в квадрат, получится 9, а затем добавить 10 раз по 3 (выйдет 30), то общая сумма составит 39, что и требовалось доказать.

В этом решении есть одна загвоздка. Если бы аль-Хорезми занимался алгеброй сейчас, то он не получил бы «полного доверия» к такому ответу, так как не упомянул, что отрицательное число х = –13 тоже является корнем. Возведение его в квадрат дает 169, умножение на 10 даст –130, а их сумма составит 39. Но это отрицательное решение в древние времена было бы проигнорировано, поскольку квадрат со стороной отрицательной длины геометрически не имеет смысла. Сегодня алгебра меньше обязана геометрии, и мы считаем положительные и отрицательные решения одинаково правильными.

Только спустя несколько столетий после смерти аль-Хорезми ученые пришли к пониманию, что все квадратные уравнения могут решаться аналогичным способом — путем заполнения квадратов до тех пор, пока они склонны это позволять отрицательным числам (и их квадратным корням), которые часто встречаются в ответах. Такая линия аргументации выявляет, что решения любых квадратных уравнений

ax² + bx + c = 0

(где a, b, c — известные, но произвольные числа, а х — неизвестная) могут быть представлены в виде формулы для вычисления их корней

Что такого примечательного в этой формуле и насколько она точна и всеобъемлюща? Ответы находятся прямо в ней: она работает при любых коэффициентах a, b и c. Учитывая наличие бесконечного множества возможных вариантов значений каждого из них, для одной формулы это уже немало.

В наше время квадратные уравнения стали незаменимым инструментом для практического применения. Инженеры и ученые используют их для настройки радиоаппаратуры, анализа вибрации пешеходных мостов и небоскребов, расчетов движения пушечного ядра, снижения и роста популяции животных и бесчисленного множества других явлений реального мира.

Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем немало.