Если вы были страстным любителем телевидения в
1980-х, то, конечно, помните сериал под названием «Детективное агентство
"Лунный свет”» с живыми диалогами и романтическими отношениями между
партнерами по фильму. В нем пару проницательных частных детективов
Дэвида Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.
В ходе расследования одного особенно жестокого дела
Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным
преступником. «Ума не приложу», — отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я
не понимаю?» — спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» — догадывается помощник. И
Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их понимаете?»
Это довольно точно отражает всеобщее отношение к
логарифмам. Большинство людей после окончания средней школы их никогда
уже больше не используют, по крайней мере осознанно, и не обращают
внимания на логарифмы, скрывающиеся за кулисами повседневной жизни.
То же самое касается и многих других функций, рассматриваемых в высшей математике и началах анализа. Степенные
функции, показательные функции — в чем их суть? В этой главе я хочу
помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда
не приходилось нажимать на кнопки инженерного калькулятора.
Математику необходимы функции по той же причине, что
и строителю молотки и сверла. Инструменты преобразовывают вещи. То же
самое делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для
выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают
числа и графики, а порой и другие функции.
Чтобы понять, что я имею в виду, давайте построим график уравнения у = 4 — х2. Возможно, вы помните, как это делается: сначала вы рисуете плоскость xy с горизонтальной осью х и вертикальной у. Затем для каждого значения х вычисляете соответствующее значение y; эта пара чисел является координатами одной точки графика на плоскости xy. Например, если х = 1, то уравнение говорит, что y = 4–12 = 4–1 = 3. Таким образом (х, у)
= (1, 3) координаты точки. После того как вы вычислите и построите еще
несколько точек на плоскости, возникнет следующая картина.
У нас получилась изогнутая математическими плоскогубцами кривая. В уравнении для у функция, которая преобразует x в x2, ведет себя подобно обычному инструменту для сгибания материала. Когда ее прикладывают к любой точке на оси х (прямую от точки х до точки х2
можно представить в виде прямого куска проволоки), плоскогубцы изгибают
и вытягивают этот кусок проволоки в направлении вниз так, чтобы
получилась изогнутая арка, как показано на рисунке.
А какую роль играет число 4 в уравнении у = 4 — x2?
Это гвоздь, на который повесят картину на стену. Он поднимает изогнутые
арки из проволоки на 4 единицы вверх. Так как при этом все точки кривой
поднимаются на одинаковую высоту, то она считается постоянной функцией.
Данный пример иллюстрирует двойственный характер функций. С одной стороны, это инструменты: x2 изгибает часть оси х, а 4 — ее лифт. С другой — строительные блоки: 4 и x2 можно рассматривать как составные части более сложной функции 4 — х2, точно так же, как провода, аккумуляторы и транзисторы — составные части радиоприемника.
Как только вы начинаете смотреть на мир подобным
образом, сразу же везде замечаете функции. Описанная выше в виде арки
кривая, в математике называемая параболой, — это автограф, который дала
квадратичная функция за кулисами. Ищите ее, когда любуетесь струями
фонтана. И если вам доведется побывать в международном аэропорту
Детройта, обязательно остановитесь у фонтана терминала Delta, чтобы
насладиться потрясающими резвящимися параболами.
Параболы и константы ассоциируются с более широким классом функций — степенными функциями вида xn, в которых значение переменной x возводится в фиксированную степень n. Для параболы n = 2, для константы n = 0.
Разные значения n дают различные ручные инструменты. Например, возведение х в первую степень (n = 1) дает функцию, которая работает как пандус, отражая устойчивое увеличение роста или спада. Такая функция называется линейной, потому что ее графиком, построенным по точкам с координатами (x, y),
является прямая линия. Если вы оставите на улице пустое ведро во время
непрекращающегося ливня, то количество воды в нем будет расти линейно во
времени.
Еще один полезный инструмент — обратно пропорциональная квадратичная функция у = 1/x2, здесь n = –2. (Степень этой функции равна –2, так как x2 стоит в знаменателе.) Эта функция хороша для описания затухания волн и ослабления сил в зависимости от расстояния х. Например, так затихает звук по мере удаления от источника.
Такие степенные функции служат строительными
блоками, используемыми учеными и инженерами для описания роста и спада,
которые происходят не слишком быстро. Но если нужен математический
динамит, пора распаковать экспоненциальные функции. Они описывают все
возможные быстропротекающие процессы — от цепных ядерных реакций до
пролиферации бактерий в чашке Петри. Наиболее известный пример — функция
у = 10x, то есть 10 возведено в степень х. Не путайте ее с ранее рассмотренными степенными функциями. Здесь показатель (степень х) является переменной, а основание (число 10) постоянной, тогда как в степенной функции, подобной х2,
все наоборот. Такая перемена мест (переменной и константы) приводит к
огромной разнице между этими функциями: при увеличивающемся значении x экспоненциальная функция с показателем x в конечном итоге растет быстрее любой степенной функции, независимо от ее степени. Экспоненциальный рост — невообразимо быстрый рост.
Вот почему так трудно сложить лист бумаги пополам больше семи-восьми раз. Каждое сложение листа удваивает его толщину, что
приводит к ее (толщины) увеличению в геометрической прогрессии. В то же
время длина, каждый раз сжимаясь пополам, уменьшается по
экспоненциальному закону. После семи сложений толщина стандартного листа
из записной книжки становится больше его длины, и поэтому дальше его
складывать нельзя. Причем неважно, сколько усилий прикладывает человек
при складывании. Предположим, лист можно сложить n раз — в результате стопка должна иметь 2n слоев. Здесь не может быть линейной зависимости, и еще одно сложение невозможно, если толщина стопки больше ее длины.
Задача считалась нерешаемой, пока в 2002 году Бритни
Галливан, ученица старшего класса средней школы, не доказала обратное.
Сначала она вывела формулу
L = (2n + 4) (2n — 1),
которая позволяла посчитать максимальное количество сложений n, где Т — толщина листа бумаги, L
— его длина, и складывается он только в одном направлении. Обратите
внимание на запрещающее присутствие экспоненциальной функции 2n
в двух местах: первый раз для учета удвоения толщины пачки при каждом
сложении, а во второй — чтобы учесть двукратное сокращение ее длины.
Используя свою формулу, Бритни пришла к выводу, что
ей понадобится специальный рулон туалетной бумаги почти в три четверти
мили длиной. Она купила бумагу и в январе 2002 года отправилась в
торговый центр в своем родном городе Помона, где и размотала ее. Семь
часов спустя с помощью родителей девочка побила мировой рекорд, сложив
бумагу двенадцать раз!
В теории также предполагается, что экспоненциальный
рост увеличит ваш банковский счет. Если ваш вклад растет с годовой
процентной ставкой, равной r, то через год сумма увеличится в (1 + r) раз от первоначального размера вклада; после двух лет она вырастет в (1 + r)2 раз, а после х лет — в (1 + r)х раз. Таким образом, чудо погашения долга, о котором мы так часто слышим, вызвано действием экспоненциального роста.
С этого места можно вернуться к логарифмам. Мы
нуждаемся в них потому, что полезно иметь инструменты, которые могут
отменить действие других инструментов. Подобно тому как каждый служащий
нуждается как в степлере, так и в антистеплере, каждый математик
нуждается как в показательных (экспоненциальных) функциях, так и в
логарифмах, поскольку они взаимообратны. Это означает, что если вы
введете в калькулятор число х и нажмете кнопку «10х», а затем кнопку «log x», то в результате опять получите число х. Например, если х = 2, то 10х составит 100. Взяв десятичный логарифм от 100, снова получим 2, так как log (100) = 2. Кроме того, log (1000) = 3, log (10 000) = 4, потому что 1000 = 103, 10 000 = 104.
Обратите внимание, в этом есть что-то магическое: как только числа внутри логарифмов увеличиваются мультипликативно
каждый раз с десятикратным увеличением от 100 до 1000 и до 10 000 (то
есть умножаются на 10), их логарифмы растут аддитивно, увеличиваясь от 2
до 3 и до 4. Наш мозг выполняет подобный трюк, когда мы слушаем музыку.
Частоты нот в музыкальной гамме — до, ре, ми, фа, соль, ля, си —
становятся нам слышны благодаря увеличению высоты звука равными интервалами.
Но объективно их частоты растут, умноженные на равные множители. Мы же
воспринимаем расстояние между высотой звука в гаммах «логарифмически».
Везде, где появляются логарифмы, — от шкалы Рихтера
для определения магнитуды землетрясений до коэффициента кислотности
рН, — они становятся замечательными «уплотнителями». Логарифмы идеально
подходят для величин, изменяющихся в широком диапазоне, и сжимают их,
чтобы они стали более управляемыми. Например, 100 и 100 000 000
отличаются в миллион раз — эту пропасть большинство из нас даже не может
вообразить. Но их логарифмы разнятся всего в четыре раза (равны 2 и 8,
так как 100 = 102 и 100 000 000 = 108). Когда мы
разговариваем о заработной плате, то используем грубую версию
логарифмической краткости, определяя заработную плату в интервале между
100 000 и 999 999 долларов шестью цифрами. Эта «шестерка» является
приблизительным логарифмом этих сумм заработной платы, которые на самом
деле находятся в диапазоне от 5 до 6.
Поскольку только инструменты математика могут
сделать так впечатляюще много, как описанные функции, возможно, именно
поэтому я до сих пор не собрал купленные книжные шкафы. |