В феврале 2010 года я получил электронное письмо от женщины по имени Ким Форбс. Ее шестилетний сын Бен задал ей математический вопрос, на который она не смогла ответить, и она надеялась, что я смогу помочь.

Сегодня 100-й день его пребывания в школе. Сын был очень взволнован и рассказал мне все, что знает о числе 100, включая то, что оно четное. Затем он сказал, что 101 нечетное число, а 1 000 000 — четное и т. д. А потом остановился и спросил: «Бесконечность — четная или нечетная?»

Я объяснил Ким, что бесконечность не может быть ни четной, ни нечетной. Это не число в обычном смысле, и оно не подчиняется правилам арифметики. Например, я писал: «Если бы бесконечность была нечетным числом, при умножении на себя она стала бы четным числом. И обе были бы бесконечностями! Так что в целом понятие четности и нечетности не имеет смысла для бесконечности».

Ким ответила:

Спасибо. Бен удовлетворен таким объяснением. Ему понравилась идея, что бесконечность достаточно велика, чтобы быть одновременно как четной, так и нечетной.

Несмотря на возникшее искажение (бесконечность не нечетная и не четная, а ни то и ни другое), толкование Бена близко к истине. Бесконечность бывает ошеломляющей.

Некоторые из ее странных сторон впервые были освещены в конце XIX века в новаторской работе Георга Кантора по теории множеств. Кантор особенно интересовался бесконечными множествами чисел и точек, подобных множеству {1, 2, 3, 4….} натуральных чисел и множеству точек на прямой. Он определил строгий способ сравнить разные бесконечные множества и обнаружил шокирующее свойство бесконечностей. Оказывается, одни бесконечности больше, чем другие.

В то время теория Кантора вызвала не только неприятие, но и возмущение. Анри Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, назвал ее «болезнью». Однако другой гигант той эпохи, Давид Гильберт, увидел в ней долгосрочный вклад в науку и провозгласил: «Никто не может изгнать нас из рая, созданного Кантором».

Моя задача — дать вам некоторое представление об этом рае. Но прежде чем начать, позвольте, следуя подходу, введенному самим Гильбертом, непосредственно рассмотреть множества чисел или точек. Он живо передал странности и уникальность теории Кантора на примере притчи о «Гранд-отеле», который в настоящее время называется отелем Гильберта.

Этот отель всегда заполнен, но в нем неизменно остается один свободный номер.

В отеле Гильберта не просто сотни номеров, в нем их бесчисленное множество. Всякий раз, когда прибывает новый постоялец, менеджер переселяет обитателя номера 1 в номер 2; обитателя номера 2 в номер 3 и т. д. Это освобождает номер 1 для нового постояльца и обеспечивает номерами всех остальных (правда, создавая им определенные неудобства при переезде).

Теперь предположим, что приехало бесконечно много новых, причем чем-то раздраженных постояльцев. Это не проблема. Невозмутимый менеджер перемещает обитателя номера 1 в номер 2, из номера 2 в номер 4, из номера 3 в номер 6 и т. д. Этот фокус с удвоением освобождает все нечетные номера (их бесконечное множество) для новых постояльцев.

Вечером того же дня бесконечная вереница автобусов с грохотом подъезжает к стойке регистрации. Их бесконечно много, и, что еще хуже, каждый заполнен бесконечным множеством ворчащих людей, требующих, чтобы отель соответствовал своему девизу: «В отеле Гильберта всегда есть свободные номера».

Менеджер раньше уже сталкивался с такой проблемой и запросто решает ее.

Сначала он проводит трюк удвоения. Это позволяет заселить новых постояльцев в четные номера и освободить все нечетные — хорошее начало, потому что теперь он имеет бесконечное число свободных номеров.

Но достаточно ли этого? Хватит ли нечетных номеров для размещения орд новых постояльцев? Кажется маловероятным, поскольку есть нечто вроде квадратной бесконечности людей, скандалящих из-за этих номеров. (Почему квадратной? Потому что каждый из бесконечного числа автобусов привез бесконечное число пассажиров. Общее количество людей составляет бесконечность, умноженную на бесконечность, чтобы это ни значило).

Вот где логика при работе с бесконечностью становится очень странной.

Чтобы понять, как менеджер собирается решать последнюю задачу, следует визуализировать всех людей, которых он должен поселить.

Конечно, мы не можем показать здесь буквально всех, так как в этом случае диаграмма должна быть бесконечной в обоих направлениях. Но окончательный вариант картинки будет соответствующим. Дело в том, что любой конкретный пассажир автобуса (скажем, ваша тетя Инесс из Луисвилля) обязательно появится где-то на диаграмме, когда мы включим в нее достаточное количество строк и столбцов. В этом смысле каждый пассажир каждого автобуса учтен. Вы называете его имя, и он (или она) обязательно отобразится на некотором конечном количестве шагов к востоку и югу от северо-западного угла картинки.

Задача менеджера — на основании этой диаграммы выработать систему. Он должен построить схему распределения номеров между постояльцами таким образом, чтобы каждый получил свой номер после того, как будет заселено конечное число других людей.

К сожалению, предыдущий менеджер не понял этого, и начался хаос. Когда приезжала очередная колонна автобусов, он так волновался, пытаясь быстро расселить пассажиров первого автобуса, что у него не оставалось времени на яростно кричащих пассажиров других автобусов. На диаграмме ниже проиллюстрирована эта недальновидная стратегия, путь которой всегда соответствовал бы пути на восток вдоль строки 1.

Однако новый менеджер все взял под контроль. Вместо движения вдоль первой строки (обслуживая только первый автобус) он двигался из угла по зигзагообразной схеме, как показано ниже.

Он начинает с первой пассажирки автобуса с номером 1 и дает ей первую пустую комнату. Второй и третий свободные номера займут второй пассажир из первого автобуса и первый пассажир из второго автобуса. Оба находятся на второй диагонали от угла диаграммы. Заселив их, менеджер переходит к третьей диагонали и раздает набор ключей от номеров первому пассажиру из третьего автобуса, второму пассажиру из второго автобуса и третьему пассажиру из первого автобуса.

Надеюсь, тактика менеджера — двигаться от одной диагонали у другой — достаточно очевидна. Нетрудно догадаться, что очередь до любого конкретного человека дойдет за конечное число шагов.

Итак, в отеле Гильберта действительно всегда есть свободные места.

Доказательство, которое я только что представил, — известный аргумент из теории бесконечных множеств. Кантор использовал его, чтобы доказать, что положительных дробей ровно столько (соотношений p/q, где p и q — положительные целые числа), сколько и натуральных чисел (1, 2, 3, 4…). Это гораздо более сильное утверждение, чем то, что оба множества бесконечны. Оно говорит о том, что они бесконечны точно в той степени, в какой между ними может быть установлено взаимно-однозначное соответствие.

Вы можете рассматривать это соответствие как систему напарников, в которой каждое натуральное число состоит в паре с некоей положительной дробью, и наоборот. Кажется, что наличие такой системы противоречит здравому смыслу. Это своего рода софистика, приведшая Пуанкаре в ужас. Ибо она предполагает, что мы могли бы сделать исчерпывающий перечень всех положительных дробей, хотя самой маленькой дроби не существует!

И все же есть такой список. Мы его уже нашли. Дробь p/q, в которой пассажиру p соответствует автобус q, а представленное выше доказательство показывает, что каждая из этих дробей может составить пару с определенным натуральным числом 1, 2, 3, …, представляющим собой номер комнаты пассажира в отеле Гильберта.

Позже Кантор также доказал, что взаимно однозначного соответствия между этими парами быть не может. Поскольку множество действительных чисел, лежащих между 0 и 1, неисчислимо и не может быть поставлено в однозначное соответствие с натуральными числами. Для гостиничного бизнеса это означает, что, если все вещественные числа появятся у стойки администратора и начнут звонить в колокольчик, для них не хватит свободных номеров даже в отеле Гильберта.

Докажем это утверждение от противного. Допустим, каждому действительному числу можно дать собственную комнату. Тогда реестр жильцов, которые определены десятичными дробями, и список номеров комнат будут выглядеть примерно так:

Номер 1: 0,6708112345…

Номер 2: 0,1918676053…

Номер 3: 0,4372854675…

Номер 4: 0,2845635480…

Помните, список должен быть полным. Каждое действительное число между 0 и 1 должно появиться в каком-то конечном месте реестра.

Кантор показал, что в подобном перечне отсутствует много чисел. Вот это и есть противоречие. Например, чтобы построить число, которое нигде не появляется в представленном выше списке, спуститесь по диагонали и составьте новое число из подчеркнутых цифр:

Номер 1: 0,6708112345…

Номер 2: 0,1918676053…

Номер 3: 0,4372854675…

Номер 4: 0,2845635480…

Получилась десятичная дробь 0,6975…

Но мы еще не закончили. Следующий шаг — возьмите эту десятичную дробь и измените все ее цифры, заменяя каждую любой другой от 1 до 8. Например, мы могли бы изменить 6 на 3, 9 на 2, 7 на 5 и т. д.

Эта новая десятичная дробь 0,325… является убийцей. Конечно, это не первый номер, так как она имеет другую первую цифру, чем число, находящееся в этом номере. И не второй номер, поскольку у него другая вторая цифра. В общем, она отличается от n-ого числа с n—м десятичным разрядом. Поэтому нигде не фигурирует в списке!

Вывод таков: отель Гильберта не может разместить все действительные числа. Их просто слишком много для этого — бесконечность, выходящая за пределы бесконечности.

И с этой унизительной мыслью мы подходим к концу книги, которая началась со сцены в другом воображаемом отеле. Помните? Персонаж «Улицы Сезам» по имени Хамфри, работающий в обеденное время в отеле «Мохнатые лапы», принял заказ у голодных пингвинов: «Рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка», и вскоре узнал о силе чисел.

Это было долгое путешествие от рыбок к бесконечности. Спасибо, что оставались со мной.