Я проходил мимо статуи Эзры Корнелла сотни раз, даже не взглянув на покрытую зеленой патиной фигуру, но однажды остановился, чтобы лучше рассмотреть ее.

Эзра выходит на улицу, исполненный гордого достоинства, в длинном пальто, жилете и сапогах. В правой руке он держит помятую широкополую шляпу и опирается на трость. Памятник производит впечатление непритязательности и обезоруживающей прямоты, какой, судя по всему, отличался в жизни и сам увековеченный в бронзе человек.

И именно поэтому так диссонируют с общим обликом памятника даты жизни Эзры. Они высечены на постаменте напыщенными римскими цифрами:

EZRA CORNELL

MDCCCVII — MDCCCLXXIV

Почему бы просто не написать 1807–1874? Римские цифры выглядят впечатляюще, но они трудно читаются и громоздки. У Эзры не хватило бы терпения прочесть их.

Найти хороший способ представления чисел всегда было сложно. Уже на заре цивилизации люди пробовали различные системы записи чисел и проводили с их помощью подсчеты, будь то в торговле, измерении земельных наделов или пересчете скота в стаде.

Что объединяет почти все эти системы, так это то, что в них глубоко укоренились особенности анатомического строения человека. Из-за капризов эволюции у нас по пять пальцев на каждой руке. Этот анатомический факт отражается в примитивной системе подсчета, например число 17 записывается в виде:

Здесь каждая вертикальная черточка в каждой группе заменяет палец. Может быть, косая черта изображала большой палец, лежащий на остальных четырех пальцах, сжатых в кулак?

Римские цифры лишь немного сложнее, чем счет на пальцах. Вы можете определить след счета на пальцах в способе написания римлянами чисел 2 и 3 как II и III. Косая черта находит отражение в форме римского числа 5 как V. Но 4 — особый случай. Иногда цифра пишется как IIII, хотя чаще как IV. Расположение в IV меньшего числа (I) слева от большего (V) означает, что вы должны вычесть I, вместо того чтобы прибавить, как если бы она стояла справа. Таким образом, IV обозначает 4, в то время как VI — 6.

Вавилоняне не были настолько привязаны к своим пальцам. Их система счисления основывалась на числе 60, в чем отразился их безупречный вкус, так как 60 — исключительно приятное число. Его красота внутренняя и не имеет ничего общего с человеческой анатомией. Шестьдесят — это наименьшее число, которое можно разделить нацело (без остатка) на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. И это только начало (есть еще делители 10, 12, 15, 20 и 30). Из-за своей уникальной делимости число 60 куда более приемлемо, чем 10, для любого вида расчетов или измерений, которые представляют собой деление на равные части. Когда мы делим час на 60 минут, или минуту на 60 секунд, или полный круг на 360 градусов, то питаемся идеями мудрецов Древнего Вавилона.

Но самое большое наследие вавилонян — это идея, которая сегодня нам настолько привычна, что мало кто из нас может оценить всю ее тонкость и гениальность.

Чтобы проиллюстрировать эту идею, давайте рассмотрим привычную для нас индо-арабскую систему счисления, которая основана на той же идее в ее современном воплощении. Вместо 60 она базируется на десяти символах: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и, что самое замечательное, 0. Они называются цифрами, естественно, от латинского слова «пальцы».

Основное новшество в том, что, хотя эта система основана на числе 10, для него не зарезервировано никакого отдельного символа. Десять — это позиция цифр 1 и 0, их расположение, а не отдельный символ. То же самое справедливо для чисел 100 или 1000 и любых других, производных от 10. Их особый статус определяется не каким-либо символом, а местоположением составляющих их цифр. Такая система представления чисел называется позиционной системой счисления.

Здесь четко виден контраст между элегантной позиционной системой и более грубым подходом, используемым в римских цифрах. Вы хотите число десять? У нас есть 10. Это римское X. Аналогично получаем 100 (римское С) и 1000 (римское M). Также нетрудно получить десятичные представления для римских семей пятерок: римское V — число 5, римское L — число 50 и римское D — число 500.

В системе римских цифр возвышаются только несколько избранных чисел. Им дают собственную символику, а все остальные «второразрядные» числа представляются в виде их комбинаций.

К сожалению, римские цифры скрипели и стонали, когда сталкивались с чем-то большим, чем несколько тысяч. Чтобы обойти эту проблему, средневековые ученые (по-прежнему использовавшие римские цифры) для определения чисел, которые в тысячу раз больше имеющихся, прибегали к наложению на уже существующие числа новых символов — верхней черты. Например, Х означает десять тысяч, а М — тысячу тысяч, или, другими словами, миллион. Умножение на миллиард (тысячу миллионов) встречалось редко, но если бы оно вам когда-нибудь понадобилось, вы всегда смогли бы наложить на М еще одну черту. Похоже, веселье с римскими числами никогда не прекращается.

Индо-арабская (позиционная) система счисления позволяет легко и быстро написать любое число независимо от того, насколько оно велико. Причем представлено оно будет все теми же десятью цифрами, нужно просто поставить их в правильную позицию. Более того, обозначения в арабской десятичной системе счисления очень короткие. Например, любое число до одного миллиона можно отобразить шестью или меньшим количеством символов — цифр. Попробуйте сделать это словесно, с помощью черточек или римскими цифрами.

Проще всего обычным людям научиться вычислениям с помощью позиционной системы счисления. Для этого достаточно выучить две таблицы — умножения и ее копию для сложения. И это все, что вам когда-нибудь понадобится. Любые расчеты с любой парой чисел, независимо от того, насколько они большие, можно выполнять с применением этих таблиц.

Все вышесказанное звучит несколько механистически, но в этом есть определенный смысл, поскольку с помощью позиционной системы счисления можно запрограммировать вычислительную машину на выполнение любых арифметических действий. От первых механических калькуляторов до сегодняшних современных суперкомпьютеров автоматизация арифметических вычислений стала возможной благодаря красивой идее определения значения числового разряда путем его местоположения.

Однако до сих пор невоспетым героем истории остается цифра ноль. Без него все рухнет. Это символ-заполнитель, который позволяет нам отличать числа 1, 10 и 100 друг от друга.

Все позиционные системы счисления построены на некоем числе, называемом основание системы. Наша привычная система счисления десятичная (от латинского корня decem, означающего «десять»), то есть основана на числе 10. В ней после первого разряда, представляющего единицы, следующие разряды представляют десятки, сотни, тысячи и т. д., каждый из которых является степенью 10:

10 = 10¹

100 = 10 × 10 = 10²

1000 = 10 × 10 × 10 = 10³.

Учитывая тот факт, что выбор числа 10 для системы счисления имеет анатомическую, а не логическую основу, естественным было бы спросить, а нет ли более эффективных систем счисления с другими основаниями? Веские аргументы можно представить в пользу системы счисления с основанием 2 — теперь уже повсеместно распространенной двоичной системы, используемой в компьютерах и всех электронных (цифровых) устройствах, начиная от мобильных телефонов и заканчивая видеокамерами. Из всех возможных систем счисления эта требует наименьшего количества символов (только два, 0 и 1). Это ее свойство прекрасно соотносится с логикой электронных переключателей или чего-то еще, что может находиться в двух состояниях: включено или выключено, открыто или закрыто.

Двоичная система нуждается в некотором пояснении. Вместо степеней 10 в ней используются степени 2. Две единицы по-прежнему занимают 1-й разряд, как и в десятичной системе, но следующие разряды теперь занимают двойки, четверки и восьмерки, потому что

2 = 2¹

4 = 2 × 2 = 2²

8 = 2 × 2 × 2 = 2³.

Конечно, при записи числа в двоичной системе счисления мы не используем цифру 2, так же как и «цифру» 10 при записи чисел в десятичной системе счисления. В двоичной системе 2 записывается как 10 (один и ноль), а это означает одну двойку и ноль единиц. Аналогично этому 4 можно записать как 100 (одна четверка, ноль двоек и ноль единиц), а 8 — как 1000.

Последствия использования двоичной системы счисления выходят далеко за пределы математики. Степень двойки изменила наш мир. В последние несколько десятилетий мы пришли к пониманию, что вся информация (а это не только числа, но и язык, и все изображения, и звуки) может быть закодирована в виде последовательности нулей и единиц.

Что возвращает нас к памятнику Эзры Корнелла.

С задней стороны сооружения почти полностью скрыт от зрителя телеграфный аппарат, скромно напоминающий о роли Эзры Корнелла в создании Western Union — американской компании, сегодня специализирующейся на срочных денежных переводах, а некогда связавшей воедино весь североамериканский континент.

В качестве плотника, превратившегося в предпринимателя, Корнелл начал работать у Сэмюэля Морзе, чье имя живет в коде точек и тире, благодаря чему английский язык сократился до щелчков телеграфного ключа. Эти два события стали технологическими предшественниками сегодняшних нулей и единиц.

Морзе поручил Корнеллу построить первую правительственную телеграфную линию от Балтимора до Капитолия в Вашингтоне. Он, по-видимому, с самого начала предчувствовал, что принесут ему точки и тире. Когда 24 мая 1844 года линия была официально открыта, Морзе отправил по ней первое сообщение: «Чудны дела Твои, Господи!»